PSK1-7

Název školy: Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola, Božetěchova 3
Autor: Ing. Marek Nožka
Anotace: Vznik a potlačení aliasingu
Vzdělávací oblast: Informační a komunikační technologie
Předmět: Počítačové sítě a komunikační technika (PSK)
Tematická oblast: Principy přenosu informací
Výsledky vzdělávání: Žák objasňuje důvody vzniku aliasingu, důsledky aliasingu a metody předcházení aliasingu
Klíčová slova: aliasing, vzorkování, digitalizace signálu
Druh učebního materiálu: Online vzdělávací materiál
Typ vzdělávání: Střední vzdělávání, 3. ročník, technické lyceum
Ověřeno: VOŠ a SPŠE Olomouc; Třída: 3L
Zdroj: Vlastní poznámky

Aliasing

Vzorkovací theorem

Bylo ukázáno, že při vzorkování dochází ke kopírování frekvenčního spektra vzorkovaného signálu s periodou ${1\over 2}f_\mathrm{s}$.

Aby nedošlo ke ztrátě dat musí být maximální frekvence vzorkovaného signálu menší než je polovina vzorkovací frekvence. Tomuto pravidlu se říká Vzorkovací theorem a matematicky ho lze zapsat jako

$$ f_\mathrm{max} \leq {f_\mathrm{s} \over 2} $$

Jinými slovy: V každé periodě vzorkovaného signálu musíme vzít alespoň dva vzorky.

V praxi se tedy vzorkovací frekvence volí dvakrát větší než je maximální požadovaná přenášená frekvence plus ještě malá rezerva. V telekomunikacích je to např. 8 kHz neboť je třeba přenášet pouze signály ve standardním telefonním pásmu (od 0,3 do 3,4 kHz). Například u záznamu na CD je to 44,1 kHz neboť průměrné zdravé lidské ucho slyší maximálně cca do 20 kHz a tudíž vzorkovací frekvence 44,1 kHz byla zvolena s určitou rezervou.

Vznik aliasingu

Aliasing vzniká při nedodržení vzorkovacího theoremu. To je tehdy když vzorkujeme příliš pomalu.

Mějme harmonický signál o frekvenci $f=29\,\mathrm{Hz}$.

Tento signál budeme vzorkovat frekvencí $f\mathrm{s}=40\,\mathrm{Hz}$. (Touto vzorkovací frekvencí bychom měli vzorkovat signál maximálně o frekvenci $f\mathrm{max}=20\,\mathrm{Hz}$.)

Dojde ke známému efektu: spektrum se začne kopírovat. To ale znamená, že z původní spektrální čáry na frekvenci 29 Hz je najednou spektrální čára na frekvenci 11 Hz.

Jestliže takto špatně/pomalu vzorkovaný signál přivedeme na obnovovací dolní propust o mezním kmitočtu $f_\mathrm{m} = { f_\mathrm{s} \over 2}$ stane se z původní sinusovky o frekvenci 29 Hz sinusovka o frekveci 11 Hz.

Pokud se na problém podíváme v časové oblasti, zjistíme, že při pomalém vzorkování pro jednu sadu vzorků existují dvě sinusovky.


Podobný efekt můžeme pozorovat i u signálu, který obsahuje více harmonických složek: Signál jehož maximální frekvence je 16 Hz vzorkujeme frekvencí 25 Hz.

Vidíme, že začátek spektra původního a navzorkovaného signálu se překrývá ale jak se blížíme k frekvenci ${ f_\mathrm{s} \over 2}$ je spektrum porušeno aliasingem.

Antialiasingový filtr

Antialiasingový filtr má zabránit aliasingu. To znamená, že má před vzorkováním omezit frekvenční spektrum signálu tak, aby byl splněn vzorkovací theorem. Jde opět o dolní propust s mezním kmitočtem nastaveným pod polovinu vzorkovacího kmitočtu:

$$f_\mathrm{m} \leq { f_\mathrm{s} \over 2}$$


Python kód, který vytvořil obrázky:
Aliasing