| Název školy: | Vyšší odborná škola a Střední průmyslová škola, Božetěchova 3 |
| Autor: | Ing. Marek Nožka |
| Anotace: | Úvod do harmonické analýzy |
| Vzdělávací oblast: | Principy přenosu informací |
| Předmět: | Počítačové sítě a komunikační technika (PSK) |
| Tematická oblast: | Harmonická analýza |
| Výsledky vzdělávání: | Žák rozlišuje časovou a frekvenční oblast |
| Klíčová slova: | harmonická analýza, časová oblast, frekvenční oblast, harmonické složky |
| Druh učebního materiálu: | Online vzdělávací materiál |
| Typ vzdělávání: | Střední vzdělávání, 3. ročník, technické lyceum |
| Ověřeno: | VOŠ a SPŠE Olomouc; Třída: 3L |
| Zdroj: | Vlastní poznámky |
Jakýkoli periodický signál libovolného tvaru lze rozložit na součet nekonečně mnoha harmonických signálů (harmonický = sinus nebo cosinus). Vždy platí, že frekvence každé této tzv. harmonické složky je celočíselným násobkem základní frekvence signálu.
Například obdélníkový signál o kmitočtu 15Hz můžeme získat složením (teoreticky nekonečně mnoha) signálů tvaru cosinus o kmitočtech 15Hz, 30Hz, 45Hz, 60Hz... atd.
Každá z těchto harmonických složek má jinou amplitudu a jinou počáteční fázi, Amplitudy a fáze můžeme zakreslit do grafu. Získáme tzv. amplitudové frekvenční spektrum a fázové frekvenční spektrum.
Matematicky můžeme tedy libovolný časový průběh napětí zapsat jako:
$$ u(t)=U_0+U_1\cos(\omega_1 t +\varphi_1) +U_2\cos(2 \omega_1 t +\varphi_2) +U_3\cos(3 \omega_1 t +\varphi_3)+\dots $$
Kde:
$U_1$, $U_2$ … jsou amplitudy jednotlivých harmonických složek.
$\varphi_1$, $\varphi_2$ … jsou počáteční fáze jednotlivých harmonických složek.
$\omega_1 = 2\pi f_1$ je (úhlová) frekvence prví harmonické složky.
Dále platí:
$T_1 = \frac{1}{f_1} = \frac{2\pi}{\omega_1}$ je perioda původního – rozkládaného – časového průběhu a $f_1$ je jeho frekvence.
Například trojúhelníkový (lineární) časový průběh můžeme popsat následujícím vztahem:
$$ u(t)=\frac{8}{\pi^2} \cos(\omega t - {\pi\over 2}) + \frac{8}{(3\pi)^2} \cos(3\omega t +{\pi\over 2}) + \frac{8}{(5\pi)^2} \cos(5\omega t -{\pi\over 2})+ \dots $$
Po sečtení jednotlivých harmonických napětí...
... dostáváme trojúhelníkový časový průběh.
Pokud amplitudy jednotlivých harmonických složek zakreslíme do obrázku, dostaneme tzv. amplitudové a fázové frekvenční spektrum. Každá spektrální čára představuje jednu harmonickou složku (tedy její velikost nebo fázi).
Všimněte si prosím, že na vodorovné ose je frekvence. Spektrální čáry, které jsou na obou dvou obrázcích pod sebou patří k sobě a představují jednu harmonickou složku -- tedy její amplitudu a fázi.
Obrázky by měli korespondovat s matematickým vztahem uvedeným na začátku:
$$ u(t)=U_0+U_1\cos(\omega_1 t +\varphi_1) +U_2\cos(2 \omega_1 t +\varphi_2) +U_3\cos(3 \omega_1 t +\varphi_3)+\dots $$
Rozdíl je pouze v tom, že konkrétně pro trojúhelníkový časový průběh je velikost každé sudé harmonické složky nulová. V amplitudovém frekvenčním spektru tedy můžeme číst hodnoty $U_1$, $U_3$, $U_5$ a $U_7$. Ve Fázovém frekvenčním spektru zase hodnoty $\varphi_1$, $\varphi_3$, $\varphi_5$ a $\varphi_7$.
Přesto, že i pro plný popis signálu je třeba i fázové i amplitudové frekvenční spektrum, mnohem častěji se udává a je mnohem důležitější amplitudové frekvenční spektrum. To totiž říká, jak velká energie je obsažena (nesena) na určité frekvenci.